Mostre que a área da região no primeiro quadrante circundada pela curva y = 1 a cosh ⁡ a x , os eixos coordenados e a reta x = b é a mesma que a área de um retângulo de altura 1 a e comprimento s, onde s é o comprimento da curva de x = 0 até x = b . Ilustre esse resultado com uma figura.

Enunciado

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento:

Temos que então, substituímos, lembrando que só estamos considerando valores do primeiro quadrante...

Usando a identidade trigonométrica , ficamos com:

Então a área do retângulo de altura e comprimento é dada por:

Vamos para a área da função agora. A área sobre a curva é dada por:

Então, , ou seja, a área sobre a curva é igual a área do retângulo com altura igual a e comprimento igual a , como queríamos mostrar.

A ilustração desse resultado pode ser visto no gráfico a seguir:

Ei, a resposta está no passo a passo :)