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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 26

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(sen x - tan x)

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma fução racional de sen x e cos x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição z = tan ((x)/(2)) e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen x = (2 z)/(1 + z^2) cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2) tan x = (2 z)/(1 - z^2) d x = (2 d z)/(1 + z^2)

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ((x)/(2)) e desenvolvendo a expressão, temos:

int (d x)/(sen x - tan x) = int ((2 d z)/(1 + z^2))/((2 z)/(1 + z^2) - (2 z)/(1 - z^2)) = int (2 d z)/(2 z - (2 z (1 + z^2))/(1 - z^2))

= int (2 d z)/((2 z ( 1 - z^2 ) - 2 z (1 + z^2))/(1 - z^2)) = int (2 ( 1 - z^2 ) d z)/(2 z ( 1 - z^2 ) - 2 z (1 + z^2))

= int (2 ( 1 - z^2 ) d z)/(2 z - 2 z^3 - 2 z - 2 z^3) = int (2 ( 1 - z^2 ) d z)/(- 4 z^3) = - (1)/(2) int (( 1 - z^2 ) d z)/(z^3)

= - (1)/(2) int (z^(- 3) - (1)/(z)) d z

Passo 2

Agora basta resolver a integral acima utilizando int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + C .

- (1)/(2) int (z^(- 3) - (1)/(z)) d z = - (1)/(2) ((z^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) - ln |z|) + C = (1)/(2) ((1)/(2 z^2) + ln | z |) + C

Passo 3

Como a integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Então, vamos ficar com:

int (d x)/(sen x - tan x) = (1)/(2) ((1)/(2 z^2) + ln | z |) + C = (1)/(2) ((1)/(2 tan^2 ((x)/(2))) + ln |tan ((x)/(2))|) + C

Lembre-se que z = tan ((x)/(2)) .

Resposta

int (d x)/(sen x - tan x) = (1)/(2) ((1)/(2 tan^2 ((x)/(2))) + ln |tan ((x)/(2))|) + C

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Os dois métodos de substituição discutidos nesta seção dão o mesmo resultado quando usados para calcular uma integral definida. Escreva um parágrafo curto explicando por que isso ocorre.
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.4. a) ∫ 1 3 a r ct gx 1 + x 2 d x ; u = a r ct gx
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.3. a) ∫ 0 1 e 2 x - 1 d x ; u = 2 x - 1
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. a) ∫ 1 3 2 x - 1 3 d x ; u = 2 x - 1
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.2. a) ∫ - 1 4 5 - 2 x 8 d x ; u = 5 - 2 x