Calcule a integral indefinida:

∫ d x sen ⁡ x - tan ⁡ x

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma fução racional de sen ⁡ x e cos ⁡ x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição z = tan ⁡ x 2 e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2               cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2                 tan ⁡ x = 2 z 1 - z 2             d x = 2 d z 1 + z 2

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ⁡ x 2 e desenvolvendo a expressão, temos:

∫ d x sen ⁡ x - tan ⁡ x = ∫ 2 d z 1 + z 2 2 z 1 + z 2 - 2 z 1 - z 2 = ∫ 2 d z 2 z - 2 z 1 + z 2 1 - z 2

= ∫ 2 d z 2 z ( 1 - z 2 ) - 2 z 1 + z 2 1 - z 2 = ∫ 2 ( 1 - z 2 ) d z 2 z ( 1 - z 2 ) - 2 z 1 + z 2

= ∫ 2 ( 1 - z 2 ) d z 2 z - 2 z 3 - 2 z - 2 z 3 = ∫ 2 ( 1 - z 2 ) d z - 4 z 3 = - 1 2 ∫ ( 1 - z 2 ) d z z 3

= - 1 2 ∫ z - 3 - 1 z d z

Passo 2

Agora basta resolver a integral acima utilizando ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C .

- 1 2 ∫ z - 3 - 1 z d z = - 1 2 z - 3 + 1 - 3 + 1   - ln ⁡ z   + C = 1 2 1 2 z 2   + ln ⁡ | z |   + C

Passo 3

Como a integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Então, vamos ficar com:

∫ d x sen ⁡ x - tan ⁡ x = 1 2 1 2 z 2   + ln ⁡ | z |   + C = 1 2 1 2 tan 2 ⁡ x 2   + ln ⁡ tan ⁡ x 2   + C

Lembre-se que z = tan ⁡ x 2 .

Resposta

∫ d x sen ⁡ x - tan ⁡ x = 1 2 1 2 tan 2 ⁡ x 2   + ln ⁡ tan ⁡ x 2   + C

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