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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 35

Calcule a integral definida:

int_((1)/(2))^2 (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9))

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição sqrt(2 x) = u , então (2)/(2 sqrt(2 x)) d x = d u -> (1)/(sqrt(2 x)) d x = d u .

int (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9)) = int (d u)/(u + 9)

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar int (1)/(x +- a) d x = ln |x +- a| + C . Sendo assim,

int (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9)) = int (d u)/(u + 9) = ln |u + 9| + C = ln |sqrt(2 x) + 9| + C

Passo 3

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_((1)/(2))^2 (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9)) = (ln |sqrt(2 x) + 9||_((1)/(2))^2 = ln |sqrt(4) + 9| - ln |sqrt(1) + 9|

int_((1)/(2))^2 (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9)) = ln |11| - ln |10| = ln ((11)/(10))

Resposta

int_((1)/(2))^2 (d x)/(sqrt(2 x) (sqrt(2 x) + 9)) = ln ((11)/(10))

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