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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 9c

Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ).

∫ x 3 x d x

Passo 1

Fala, meu povo!! Vamos começar esse exercício? Para tanto, precisamos lembrar um pouco da parte de derivadas para nos ajudar a começar a resolver. Visto que o enunciado já nos dá a regra a ser usada, precisamos lembrar (ou mesmo pegar alguma tabela/formulário de derivadas ou ir até a Tabela 5.2 . 1 na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) que a regra da potência é dada por:

∫ x r d x = x r + 1 r + 1 + C ,   r ≠ - 1

Aqui, o valor de r possui uma restrição pelo fato da função resultante da integração não estar definida no ponto restrito.

Passo 2

Então, agora precisamos saber se o integrando está na forma adequada pra calcular a integral dada.

Como o integrando não é uma função x elevado a uma potência constante, precisamos reescrevê-la para que fique na forma desejada.

Uma coisa que conseguimos fazer é transformar a raiz quadrada numa função exponencial e juntar os termos exponenciais com a mesma base, ou seja:

x 3 x = x 3 x 1 2 = x 3 + ( 1 / 2 )

Que resulta em:

x 3 x = x 7 / 2

Passo 3

Logo, teremos:

∫ x 3 x d x = ∫ x 7 / 2 d x = x ( 7 / 2 ) + 1 ( 7 / 2 ) + 1 + C

Tal que:

∫ x 7 / 2 d x = x 9 / 2 ( 9 / 2 ) + C = 2 9 x 9 / 2 + C

Resposta

∫ x 3 x d x = 2 9 x 9 / 2 + C

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