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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 12

Calcule a integral sem usar tabelas

int_2^(oo) (2)/(t^2 - 1) d t

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite

Passo 2

Vamos, então, resolver nossa integral

int (2)/(t^2 - 1) d t = 2 * int (d t)/(( t + 1 ) ( t - 1 ))

Para resolvermos a integral resultante, vamos utilizar a separação em frações parciais, dessa forma teremos

(1)/(( t + 1 ) ( t - 1 )) = (A)/(( t + 1 )) + (B)/(( t - 1 ))

(1)/(( t + 1 ) ( t - 1 )) = (A * ( t - 1 ))/(( t + 1 ) ( t - 1 )) + (B * ( t + 1 ))/(( t + 1 ) ( t - 1 )) E s s a i g u a l d a d e s ó é s a t i s f e i t a s e

A + B = 0

- A + B = 1

-> A = - (1)/(2) e B = (1)/(2)

Dessa forma poderemos reescrever nossa integral como sendo

2 * int (- 1 // 2)/(( t + 1 )) + (1 // 2)/(( t - 1 )) d t = [ln |t - 1| - ln |t + 1|] + C = ln [(|t - 1|)/(|t + 1|)] + C

Passo 3

Aplicando a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos obter

int_2^(oo) (2)/(t^2 - 1) d t = underset(b -> oo)(lim) int_2^b (2)/(t^2 - 1) d t =

underset(b -> oo)(lim) [ln [(|t - 1|)/(|t + 1|)]] (b)/(2) =

underset(b -> oo)(lim) [ln [(|b - 1|)/(|b + 1|)] - ln [(|2 - 1|)/(|2 + 1|)]] = ln 1 - ln ((1)/(3)) = - [ln 1 - ln 3] = ln 3

Resposta

ln 3

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