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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 16

Calcule a integral sem usar tabelas

int_0^2 (s + 1 d s)/(sqrt(4 - s^2))

Passo 1

Quando integramos uma função em seus pontos assintóticos (onde a função explode pro infinito ou pro zero) temos integrais impróprias que podem ser descritas por

(i) : int_a^b f ( x ) d x = underset(c -> a^+)(lim) int_c^b f (x) d x

(i i) : int_a^b f ( x ) d x = underset(c -> b^-)(lim) int_a^c f (x) d x

(i i i) : int_a^b f ( x ) d x = int_a^c f ( x ) d x + int_c^b f ( x ) d x , c é u m p o n t o d e d e s c o n t i n u i d a d e

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite

Passo 2

Podemos separar nossa integral em duas e vamos obter o seguinte

int_0^2 (s d s)/(sqrt(4 - s^2)) + int_0^2 (1 d s)/(sqrt(4 - s^2))

Vamos resolver cada uma delas separadamente e depois concatenar os resultados

(1) : int_0^2 (s d s)/(sqrt(4 - s^2)) = ((1)/(2)) * int_0^2 (2 s d s)/(sqrt(4 - s^2))

Fazendo u = 4 - s^2 -> d u = - 2 s d s -> - d u = 2 s d s , analisando os limites de integração temos que quando x = 0 -> u = 4 e quando x = 2 -> u = 0

-> - int_4^0 (d u)/(2 sqrt(u)) = int_0^4 (d u)/(2 sqrt(u))

Utilizando a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos ter

int_0^4 (d u)/(2 sqrt(u)) = underset(b -> 0^+)(lim) int_b^4 (d u)/(2 sqrt(u)) = underset(b -> 0^+)(lim) [ sqrt(u) ] (4)/(b) = underset(b -> 0^+)(l i m) [2 - sqrt(b)] = 2

Passo 3

Resolvendo a segunda integral, vamos ter

(2) : int_0^2 (1 d s)/(sqrt(4 - s^2)) = underset(c -> 2^-)(l i m) int_0^c (1 d s)/(sqrt(4 - s^2)) = underset(c -> 2^-)(l i m) [a r c s e n ((s)/(2))] (c)/(0) =

underset(c -> 2^-)(l i m) [a r c s e n ((c)/(2)) - a r c s e n (0)] (c)/(0) = (pi)/(2)

Por fim, podemos juntar ambos os resultados para terminar o problema, dessa forma

2 + (pi)/(2)

Resposta

2 + (pi)/(2)

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Investigue a integral imprópria ∫ 7 ∞ 1 x - 5 2 d x
Mostrar que ∫ 1 ∞ d x x É divergente.
Encontrar a área sob a curva y = e - x ,x ≥ 0 .
Em cada parte, determine todos os valores de p com os quais a integral é imprópria. ∫ 0 1 d x x p
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