Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 34

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 4 x x 2 - 1 + 1 + x + x 3 1 + x 2 d x

Passo 1

Faaaala, belezinhas do Responde Aí!! Pra começarmos esse exercício, algumas coisas são essenciais. Por exemplo, precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

A integral em si se identifica com os casos a e b do Teorema 5.2 . 3 . Portanto:

∫ 4 x x 2 - 1 + 1 + x + x 3 1 + x 2 d x = 4 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ 1 + x + x 3 1 + x 2 d x

Visto que o segundo termo das integrais não possui uma fórmula definida para o cálculo na Tabela 5.2 . 1 , é necessário reescrevê-lo para uma forma adequada para se integrar.

Então, separando a função de terceiro grau em duas somas (através da propriedade b do Teorema), conseguimos fazer:

∫ 1 + x + x 3 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 + ∫ x + x 3 1 + x 2 d x

Tal que, tirando o fator comum na segunda integral:

∫ 1 1 + x 2 + ∫ x + x 3 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 + ∫ x 1 + x 2 1 + x 2 d x

Portanto:

∫ 1 + x + x 3 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 + ∫ x d x

Então, a forma adequada para integrarmos seria:

∫ 4 x x 2 - 1 + 1 + x + x 3 1 + x 2 d x = 4 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ 1 1 + x 2 + ∫ x d x

Passo 3

Com isso, usando as fórmulas adequadas da Tabela de integração, temos:

4 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ 1 1 + x 2 + ∫ x d x = 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C = 4 1 x x 2 - 1 + 1 1 + x 2 + 2 x 2 + 0

Podemos reescrever isso como:

d d x 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C = 4 x x 2 - 1 + 1 1 + x 2 + x

Igualando os denominadores do segundo e terceiro termos:

d d x 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C = 4 x x 2 - 1 + 1 + x 1 + x 2 1 + x 2

Logo:

d d x 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C = 4 x x 2 - 1 + 1 + x + x 3 1 + x 2

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ 4 x x 2 - 1 + 1 + x + x 3 1 + x 2 d x = 4 arcsec ⁡ x + a r c t g x + x 2 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ x 5 / 7 d x
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 1 + x 2 2 - xd x
Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.
Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.
Calcule cada integral aplicando adequadamente o Teorema 5.2 . 3 e a Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 . ∫ 10 y 3 / 4 - y 3 + 4 y d y