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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 18

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 1 + x 2 2 - x   d x

Passo 1

E ae, galerinha! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é a multiplicação de dois termos em função de x , podemos fazer a multiplicação. Logo:

∫ 1 + x 2 2 - x   d x = ∫ 2 - x + 2 x 2 - x 3   d x

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa nos casos a , b e c .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ 2 - x + 2 x 2 - x 3   d x = 2 ∫ d x - ∫ x d x + 2 ∫ x 2 d x - ∫ x 3 d x

Tal que o resultado é:

∫ 1 + x 2 2 - x   d x = 2 x - x 2 2 + 2 x 3 3 - x 4 4 + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x 2 x - x 2 2 + 2 x 3 3 - x 4 4 + C = 2 - 2 x 2 + 2 3 x 2 3 - 4 x 3 4 + 0

d d x 2 x - x 2 2 + 2 x 3 3 - x 4 4 + C = 2 - x + 2 x 2 - x 3

Que é o mesmo resultado que conseguimos quando multiplicamos os fatores do integrando inicial.

Resposta

∫ 1 + x 2 2 - x   d x = 2 x - x 2 2 + 2 x 3 3 - x 4 4 + C

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