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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 14

Calcule cada integral aplicando adequadamente o Teorema 5.2 . 3 e a Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 .

∫ 10 y 3 / 4 - y 3 + 4 y d y

Passo 1

Galera, precisamos lembrar do Teorema citado (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado já nos dá a fórmula a ser usada, pegando-a na Tabela 5.2 . 1 na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON, teremos que ela é dada por:

∫ y r d x = y r + 1 r + 1 + C ,   r ≠ - 1

Que é a regra da potência. Aqui, o valor de r possui uma restrição pelo fato da função resultante da integração não estar definida no ponto restrito.

Passo 2

Então, agora temos que saber se o integrando está na forma adequada pra calcular a integral dada.

No segundo e no terceiro termo, podemos transformar as raízes quadradas em funções exponenciais através da regra de potenciação. Logo:

∫ 10 y 3 / 4 - y 3 + 4 y d y = ∫ 10 y 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y 1 / 2 d y

Ainda, para o primeiro termo, como a função y está no denominador, precisamos passar ela para o numerador invertendo o sinal do seu expoente. O mesmo pode ser feito para o terceiro termo. Então:

∫ 10 y 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y 1 / 2 d y = ∫ 10 y - 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y - 1 / 2 d y

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa em todos os casos a , b e c .

Passo 3

Logo, teremos:

∫ 10 y - 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y - 1 / 2 d y = 10 ∫ y - 3 / 4 d y - ∫ y 1 / 3 d y + 4 ∫ y - 1 / 2 d y

= 10 y - 3 / 4 + 1 - 3 / 4 + 1 - y 1 / 3 + 1 1 / 3 + 1 + 4 y - 1 / 2 + 1 - 1 / 2 + 1 + C

Tal que:

∫ 10 y - 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y - 1 / 2 d y = 4 0 y 1 / 4 - 3 4 y 4 / 3 + 8 y + C

Resposta

∫ 10 y - 3 / 4 - y 1 / 3 + 4 y - 1 / 2 d y = 40 y 1 / 4 - 3 4 y 4 / 3 + 8 y + C

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