Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> + oo)(lim) ln (e^x + x)^((2)/(x))) = e^(underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x) que se trata de uma indeterminação (oo)/(oo) , assim vamos aplicar L’Hôpital.

underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) ((e^x + 1)/(e^x + x))/(1)

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital novamente

2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x + 1)/(e^x + x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(e^x + 1)

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital novamente

2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(e^x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) 1 = 2

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x)) = e^(underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x)) = e^(2 underset(x -> + oo)(lim) 1) = e^2

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x)) = e^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ s e n x x 1 x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 + ⁡ 1 x t g x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim θ → π 2 ⁡ t g θ + 3 s e c θ - 1
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y