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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 19

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> + oo)(lim) ln (e^x + x)^((2)/(x))) = e^(underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x) que se trata de uma indeterminação (oo)/(oo) , assim vamos aplicar L’Hôpital.

underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) ((e^x + 1)/(e^x + x))/(1)

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital novamente

2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x + 1)/(e^x + x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(e^x + 1)

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital novamente

2 underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(e^x) = 2 underset(x -> + oo)(lim) 1 = 2

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x)) = e^(underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) ln (e^x + x)) = e^(2 underset(x -> + oo)(lim) 1) = e^2

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + x)^((2)/(x)) = e^2

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