Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 + ⁡ 1 + x ln ⁡ x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + x ln ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ ln ⁡ 1 + x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ ln ⁡ 1 + x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes ln ⁡ 1 + x .

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / ln ⁡ 1 + x

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / ln ⁡ 1 + x =   lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 ln ⁡ 1 + x 2 ( 1 + x )   =   lim x → 0 + ⁡ - ln ⁡ 1 + x 2 ( 1 + x ) x

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 0 + ⁡ - ln ⁡ 1 + x 2 1 + x x = lim x → 0 + ⁡ - ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ln ⁡ 1 + x 1 + x 1 + x 1

lim x → 0 + ⁡ - ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ln ⁡ 1 + x = 0

lim x → 0 + ⁡ 1 + x ln ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ ln ⁡ 1 + x = e lim x → 0 + ⁡ - ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ln ⁡ 1 + x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 + x ln ⁡ x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados