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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 18

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + x)^(ln x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln (1 + x)^(ln x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln x * ln (1 + x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0^+)(lim) ln x * ln (1 + x) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes ln (1 + x) .

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(1 // ln (1 + x))

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(1 // ln (1 + x)) = underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/((- 1)/((ln (1 + x))^2 ( 1 + x ))) = underset(x -> 0^+)(lim) - ((ln (1 + x))^2 ( 1 + x ))/(x)

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^+)(lim) - ((ln (1 + x))^2 (1 + x))/(x) = underset(x -> 0^+)(lim) - ((ln (1 + x))^2 + (2 ln (1 + x))/((1 + x)) (1 + x))/(1)

underset(x -> 0^+)(lim) - ((ln (1 + x))^2 + 2 ln (1 + x)) = 0

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + x)^(ln x) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln x * ln (1 + x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) - ((ln (1 + x))^2 + 2 ln (1 + x))) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + x)^(ln x) = 1

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