Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) .

Passo 1

Vamos nessa! Precisamos calcular o limite abaixo:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 2 + x - 3 x

Ou então, provar que ele não existe!

Olhando o limite ai de cima dá um sentimento de não saber por onde começar, né? Então precisamos simplificar essa expressão antes de qualquer coisa! Vamos nessa?!

Passo 2

A nossa função é:

9 x 2 + x - 3 x

Quanto temos uma expressão nesse formato que ta sendo somada ou subtraída podemos multiplicar pelo seu conjugado, assim:

9 x 2 + x - 3 x × 9 x 2 + x + 3 x 9 x 2 + x + 3 x = 9 x 2 + x - 9 x 2 9 x 2 + x + 3 x

9 x 2 + x - 9 x 2 9 x 2 + x + 3 x = x 9 x 2 + x + 3 x

Ficamos com:

x 9 x 2 + x + 3 x

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando com x → ∞ , temos que manipular a equação de forma que o x fique apenas no denominador, afinal 1 ∞ = 0 . Dividindo todo mundo por x :

x x 9 x 2 + x x + 3 x x

Temos que:

x 2 = x

Então:

x x 9 x 2 x 2 + x x 2 + 3 x x = 1 9 + 1 x + 3

Agora é só aplicar e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

lim x → ∞ ⁡ 1 9 + 1 x + 3 = 1 9 + 1 ∞ + 3

1 9 + 1 ∞ + 3 = 1 9 + 0 + 3 = 1 3 + 3

Logo:

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) = 1 6

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) = 1 6

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