Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4

Usando a regra de L’Hospital.

Passo 1

Antes de usarmos a regra de L’Hospital, temos uqe ver que de fato temos uma indetemirnação 0 0 ou ∞ ∞

lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4 = e 0 2 - cos ⁡ 0 0 4 = e 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Opa, deu a indeterminação, então podemos aplica L’Hospital, fazendo a derivada de cada termo da fração.

lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4 = lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x ' x 4 ' = lim x → 0 ⁡ e x 2 x 2 ' + sen ⁡ x 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ 2 x e x 2 + sen ⁡ x 4 x 3

Passo 2

Vamos ver se isso eliminou a indeterminação:

lim x → 0 ⁡ 2 x e x 2 + sen ⁡ x 4 x 3 = 2 0 e 0 2 + sen ⁡ 0 4 0 3 = 0 0

Poxa, a indeterminação não saiu. Vamos aplica L’Hospital de novo.

lim x → 0 ⁡ 2 x e x 2 + sen ⁡ x 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ 2 x e x 2 + sen ⁡ x ' 4 x 3 ' = lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 + 2 x e x 2 2 x + cos ⁡ x 12 x 2 =

lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2

Passo 3

Aqui, vamos começar a tentar simplificar essas constas para diminuir essas mil derivadas. Para isso, vamos fazer

2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2 = 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2 + 4 x 2 e x 2 12 x 2 = 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2 + 4 e x 2 12

Voltando para o limite:

lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 + cos ⁡ x 12 x 2 + 4 e x 2 12 = 2 e 0 2 + cos ⁡ 0 12 0 2 + 4 e 0 2 12

= 2 + 1 0 + 4 12 = + ∞ + 4 12 = + ∞

Resposta

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