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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 43

Calcule o limite:

underset(x -> 0)(lim) (e^(x^2) - cos x)/(x^4)

Usando a regra de L’Hospital.

Passo 1

Antes de usarmos a regra de L’Hospital, temos uqe ver que de fato temos uma indetemirnação (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> 0)(lim) (e^(x^2) - cos x)/(x^4) = (e^(0^2) - cos 0)/(0^4) = (e^0 - 1)/(0) = (1 - 1)/(0) = (0)/(0)

Opa, deu a indeterminação, então podemos aplica L’Hospital, fazendo a derivada de cada termo da fração.

underset(x -> 0)(lim) (e^(x^2) - cos x)/(x^4) = underset(x -> 0)(lim) ((e^(x^2) - cos x)^')/((x^4)^') = underset(x -> 0)(lim) (e^(x^2) (x^2)^' + sen x)/(4 x^3) = underset(x -> 0)(lim) (2 x e^(x^2) + sen x)/(4 x^3)

Passo 2

Vamos ver se isso eliminou a indeterminação:

underset(x -> 0)(lim) (2 x e^(x^2) + sen x)/(4 x^3) = (2 (0) e^(0^2) + sen 0)/(4 (0)^3) = (0)/(0)

Poxa, a indeterminação não saiu. Vamos aplica L’Hospital de novo.

underset(x -> 0)(lim) (2 x e^(x^2) + sen x)/(4 x^3) = underset(x -> 0)(lim) ((2 x e^(x^2) + sen x)^')/((4 x^3)^') = underset(x -> 0)(lim) (2 e^(x^2) + 2 x e^(x^2) 2 x + cos x)/(12 x^2) =

underset(x -> 0)(lim) (2 e^(x^2) + 4 x^2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2)

Passo 3

Aqui, vamos começar a tentar simplificar essas constas para diminuir essas mil derivadas. Para isso, vamos fazer

(2 e^(x^2) + 4 x^2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2) = (2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2) + (4 x^2 e^(x^2))/(12 x^2) = (2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2) + (4 e^(x^2))/(12)

Voltando para o limite:

underset(x -> 0)(lim) (2 e^(x^2) + 4 x^2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2) = underset(x -> 0)(lim) ((2 e^(x^2) + cos x)/(12 x^2) + (4 e^(x^2))/(12)) = (2 e^(0^2) + cos 0)/(12 (0)^2) + (4 e^(0^2))/(12)

= (2 + 1)/(0) + (4)/(12) = + oo + (4)/(12) = + oo

Resposta

oo

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Mostre queunderset(x - 0)(lim) (e^x - 1)/(x) = 1 Sem usar a regra de L’Hospital