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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 40

Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada.

f x = 1 + x 2 - 1

a = 1

n = 3

Passo 1

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.

Ele quer em a = 1 , então, vamos ter:

x 0 = 1

Passo 2

Temos:

f x = 1 + x 2 - 1  

Vamos ter:

P 3 x = ∑ i = 0 3 f i 1 i ! x - 1 i

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

f x = 1 + x 2 - 1

Fazendo as derivadas, vamos precisar usar a regra da cadeia para a primeira:

f ' x = - 1 1 + x 2 - 2 1 + x 2 '

f ' x = - 2 x 1 + x 2 - 2

Passo 3

Vamos para a segunda derivada, para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para aquele termo 1 + x 2 :

f ' ' x = - 2 x ' 1 + x 2 - 2 - 2 x 1 + x 2 - 2 '

f ' ' x = - 2 1 + x 2 - 2 - 2 x - 2 1 + x 2 - 3 2 x

f ' ' x = - 2 1 + x 2 - 2 + 8 x 2 1 + x 2 - 3

Passo 4

Para a terceira derivada, vamos usar novamente a regra do produto e da cadeia:

f ' ' ' x = - 2 - 2 1 + x 2 - 3 2 x + 8 x 2 ' 1 + x 2 - 3 + 8 x 2 1 + x 2 - 3 '

f ' ' ' x = 8 x 1 + x 2 - 3 + 16 x 1 + x 2 - 3 + 8 x 2 - 3 1 + x 2 - 4 2 x

f ' ' ' x = 24 x 1 + x 2 - 3 - 48 x 3 1 + x 2 - 4

Passo 5

Vamos achar essas derivadas no nosso x 0 = 1

f x = 1 2

f ' x = - 1 2

f ' ' x = 1 2

f ' ' ' x = 0

O polinômio de Taylor vai ser:

P 3 x = f 0 0 ! + f ' 0 1 ! x - 1 + f ' ' 0 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 1 3

Substituindo os valores:

P 3 x = 1 2 - 1 2 x - 1 + 1 4 x - 1 2

Passo 6

Vamos calcular o Erro de Lagrange agora.

Vamos ter:

R 3 x = f 4 ε 4 ! x - 1 4

Vamos fazer a 4 ª derivada, para isso vamos usar novamente a regra do produto e da cadeia:

f i v x = 24 1 + x 2 - 3 - 288 x 2 1 + x 2 - 4 + 384 x 4 1 + x 2 - 5

Logo:

R 3 x = 24 1 + ε 2 - 3 - 288 x 2 1 + ε 2 - 4 + 384 x 4 1 + ε 2 - 5 4 ! x - 1 4

Com o ε entre 1 e x .

Resposta

P 3 x = 1 2 - 1 2 x - 1 + 1 4 x - 1 2

R 3 x = 24 1 + ε 2 - 3 - 288 x 2 1 + ε 2 - 4 + 384 x 4 1 + ε 2 - 5 4 ! x - 1 4

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Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g x = a r ct gx em volta de x 0 = 0 :
Seja f x = 1 1 + x 2 a)Mostre que P x = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10 de f em volta de x 0 = 0 b)c)
Verifique que x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 é o polinômio de Taylor,de ordem n+1 , de l n ⁡ ( x + 1 ) em volta de 0.
Verifique que 1 + t + t 2 + … + t n = 1 - t n + 1 1 - t ( t ≠ 1 ) . Conclua que, se t1 , lim n → ∞ ⁡ 1 + t + t 2 + … + t n = 1 1 - t Ou seja, 1 1 - t = 1 + t + t 2 + …
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.14. f x = 1 - x - 1 2 ; a = 0 ; n = 3