Ache o polinômio de Taylor de grau com resto de Lagrange em um número para a função definida pela equação dada.
Passo 1
Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:
Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.
Ele quer em , então, vamos ter:
Passo 2
Temos:
Vamos ter:
Vamos para as derivadas agora, vamos ter:
Fazendo as derivadas:
Então vamos ter:
Passo 3
O polinômio de Taylor de vai ser:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular o Erro de Lagrange agora.
Vamos ter:
Temos:
Logo:
Com o entre e .
Como seno é sempre menor que , vamos ter:
Resposta
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Estime o erro que se comete quando raiz(1 + x) é substituído por 1 + (1 / 2)x² ² se 0x0,01 .
Calcule o valor exato de e até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.
Estime o erro que se comete quando cos(x) é substítuido por 1 - (1 - 1/2)x² ² se |x|0,1 .
Verifique quesen(x) = x + o(x^2)
Verifique queln(x) = (x - 1) - (1 / 2) * (x - 1)^2 + o((x - 1)^2)