Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 39
Ache o polinômio de Taylor de grau com resto de Lagrange em um número para a função definida pela equação dada.
Passo 1
Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:
Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.
Ele quer em , então, vamos ter:
Passo 2
Temos:
Vamos ter:
Vamos para as derivadas agora, vamos ter:
Fazendo as derivadas:
Então vamos ter:
Passo 3
O polinômio de Taylor de vai ser:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular o Erro de Lagrange agora.
Vamos ter:
Temos:
Logo:
Com o entre e .
Como seno é sempre menor que , vamos ter:
Resposta
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Estime o erro que se comete quando 1 + x é substituído por 1 + 1 2 x ² ² se 0x0,01 .
Calcule o valor exato de e até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.
Estime o erro que se comete quando cos x é substítuido por 1 - 1 2 x ² ² se x0,1 .
Verifique que s e n x = x + o x 2
Verifique que ln x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + o x - 1 2