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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 3a

Calcule.

int (1)/(sen^3 x) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão, vamos usar que:

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Assim:

int (1)/(sen^3 x) d x = int (1)/(((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^3) d x

Para resolver essa integral vamos tentar fazer uma Substituição agora, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = tg (x)/(2)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) se c^2 (x)/(2) d x -> d x = (2)/(sec^2 (x)/(2)) d u

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(((2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)))^3) d x = int (1)/(((2 u)/(1 + u^2))^3) * (2)/(sec^2 (x)/(2)) d u = int (2)/(((2 u)/(1 + u^2))^3 (1 + tg^2 (x)/(2))) d u = int (2)/(((2 u)/(1 + u^2))^3 (1 + u^2)) d u = int (2)/((8 u^3)/((1 + u^2)^3) (1 + u^2)) d u = int (2)/((8 u^3)/((1 + u^2)^2)) d u = int (1)/((4 u^3)/((1 + u^2)^2)) d u = int ((1 + u^2)^2)/(4 u^3) d u = int (1 + 2 u^2 + u^4)/(4 u^3) d u = int (1)/(4 u^3) + (2 u^2)/(4 u^3) + (u^4)/(4 u^3) d u = int (1)/(4 u^3) d u + int (1)/(2 u) d u + int (u)/(4) d u = int (u^(- 3))/(4) d u + (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C = - (1)/(8 u^2) + (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (1)/(sen^3 x) d x = - (1)/(8 u^2) + (1)/(2) ln |u| + (u^2)/(8) + C = - (1)/(8 (tg (x)/(2))^2) + (1)/(2) ln |tg (x)/(2)| + ((tg (x)/(2))^2)/(8) + C

Resposta

int (1)/(sen^3 x) d x = - (1)/(8 (tg (x)/(2))^2) + (1)/(2) ln |tg (x)/(2)| + ((tg (x)/(2))^2)/(8) + C

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