Enunciado

Calcule a área do conjunto de todos ( x , y ) tais que x >= sqrt(1 + y^2) e 2 x + y <= 2 .

Passo 1

Como se trata de uma questão extensa, vamos fazê-la por etapas!

Inicialmente, vamos definir:

E q . 1 : x >= sqrt(1 + y^2)

E q . 2 : 2 x + y <= 2

Vamos isolar y na Eq.1:

x >= sqrt(1 + y^2)

x^2 >= 1 + y^2

x^2 - 1 >= y^2

y <= sqrt(x^2 - 1)

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Como é definido que: y <= sqrt(x^2 - 1) sabemos que a função é definida para valores positivos de y e a função é definida para valores maiores ou menores de x, para 1 ou -1, como mostrado na figura.

Passo 2

Agora, vamos analisar a Eq.2:

2 x + y <= 2 .

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Podemos ver pela figura que nossa função delimita todo o lado esquerdo do gráfico!!

Passo 3

Com isso, vamos calcular a área do gráfico que obedece as duas desigualdades dadas, sobrepondo os gráficos!

Pelo gráfico, percebemos que nosso intervalo de integração será de -1 até - oo .

Como a área do gráfico de uma função é dada por uma Integral de Riemman, é necessário lembrar que sempre A>0, logo, a função área dada pelas desigualdades será escrita como:

A (x) = int_(- oo)^(- 1) (( 2 - 2 x ) - sqrt(x^2 - 1)) d x

Passo 4

Resolvendo essa integral, temos que: (Vamos em vez de - oo , usar x , para calibrar nossa área em função do x!!

A (x) = underset(x -> - oo)(lim) int_x^(- 1) (( 2 - 2 x ) - sqrt(x^2 - 1)) d x

A (x) = l n ( 2 sqrt(x^2) 2 x ) + x sqrt(x^2 - 1 ) 2 x^2 - 4 x - l n ( - 2 ) + 62

Resposta

A (x) = l n ( 2 sqrt(x^2) - 2 x ) + x sqrt(x^2 - 1 ) 2 x^2 - 4 x - l n ( - 2 ) + 62

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