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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 21

19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.

21. ∫ π 3 π 2 s e n   θ 1 - 4 c o s 2 θ d θ ; u = 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ π 3 π 2 s e n   θ 1 - 4 c o s 2 θ d θ

E nossa substituição é:

u = 2 cos ⁡ θ

Derivando para descobrirmos d u em função de d θ :

d u = - 2 . s e n   θ d θ

∴ - d u 2 = s e n   θ . d θ

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ π 3 π 2 s e n   θ 1 - 4 c o s 2 θ d θ = - 1 2 ∫ π 3 π 2 1 - u 2 d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a θ , e sim em relação a u ! Os intervalos são: θ = π 3 e θ = π 2 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u π 3 = 2 . cos ⁡ π 3 = 2 * 1 2 = 1

u π 2 = 2 . cos ⁡ π 2 = 2.0 = 0

Logo, nossa integral será:

∫ π 3 π 2 s e n   θ 1 - 4 c o s 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 1 1 - u 2 d u

Passo 3

Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando y = 1 - u 2 é o semicírculo superior de raio 1 e centro na origem; sendo assim, a região é um quarto de um círculo inteiro estendendo-se de θ = 0 até θ = 1 , ou seja:

1 2 ∫ 0 1 1 - u 2 d u = 1 2 . 1 4 . Á r e a   d o   c í r c u l o

1 2 ∫ 0 1 1 - u 2 d u = 1 2 1 4 . π R 2 = 1 8 π . 1 2

∴ 1 2 ∫ 0 1 1 - u 2 d u = π 8

E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊

Resposta

∫ π 3 π 2 s e n   θ 1 - 4 c o s 2 θ d θ = π 8

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d) ∫ t g 3 3 xd x
a) ∫ c o t g x d x = l n | s e n ( x ) | + c
e) ∫ c o t g n x c o s s e c ( x ) d x = - c o t g n + 1 x n + 1 + c
d) ∫ c o t g 2 x d x = - c o t g x - x + c
b) ∫ c o s e c x d x = - ln ⁡ c o s e c x + c o t g x + c