Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 1
Calcule a soma de Riemann para , , com seis subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades esquerdas. Explique, com a ajuda de um diagrama, o que representa a soma de Riemann.
Passo 1
Opa! E aí, bora resolver essa questão?! O enunciado pede pra a gente calcular a soma de Riemann para essa função aqui:
No intervalo . Ou seja, queremos calcular:
Pra isso ele pede pra a gente subdividir o intervalo dado em subintervalos, ou seja e devemos considerar a extremidade esquerda de cada subintervalo pro nosso cálculo!
O próprio enunciado já diz que a gente deve resolver o problema pela soma de Riemann, pra isso a gente vai usar essa forma geral aqui:
Onde é dado por:
Como a gente vai pegar os pontos da extremidade esquerda de cada intervalo, temos então , que pode ser calculado por:
Na prática, pra fazer o exercício, vamos abrir a integral ali de cima e vamos ficar com:
Passo 2
Beleza, então a soma de Riemann vai nos dar uma estimativa de:
Então vamos começar calculando o nosso e os valores de que são . Temos:
Pra calcular eu mostrei a fórmula lá em cima. Mas vamos pensar da forma intuitiva, temos a curva que vai de até , precisamos dividir esse intervalo em subintervalos com largura de e depois pegar o ponto mais à esquerda de cada intervalo.
O primeiro intervalo vai de até , então o ponto mais à esquerda é .
O primeiro intervalo vai de até , então o ponto mais à esquerda é .
E assim sucessivamente, então ficamos com:
Tem situações onde é legal se guiar pela fórmula, mas quanto mais intuitivo for o cálculo, mas fácil é da gente não errar em outros exercícios! Beleza?!
Pra finalizar esse passo vamos calcular cada :
Passo 3
Temos tudo o que precisamos em mãos, agora é só correr pro abraço e substituir os dados em:
Ficamos com:
Passo 4
Agora a gente vai tentar entender, geometricamente o que fizemos nesse exercício!
A nossa função é no intervalo , se esboçarmos essa curva, teremos:
A integral de nesse intervalo é a área dessas regiões pintadinhas de azul, que esta acima do eixo menos a região vermelha que esta abaixo do eixo !
Na soma de Riemann a gente dividiu esse intervalo de em pedacinhos e calculamos . Essa multiplicação te lembra alguma coisa?! O que fizemos pra cada intervalo foi:
Ou seja, calculamos a área desses retângulos e isso nos dá o valor aproximado da integral. Se a gente desenhar o que fizemos, vamos ter isso daqui:
Repara que a “altura” é sempre o ponto mais a esquerda de cada intervalo, como o enunciado pediu.
Agora, você concorda comigo que quanto menor for a largura do retângulo e mais retângulos tivermos, mais precisa vai ser a nossa conta. E que quando tende a infinito a gente tem o valor exato da integral?!
Esse é o espirito da coisa!
Resposta
