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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 8

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.

Exercício 2

∫ 4 9   1 x d x

Passo 1

A ideia aqui é estimar esse limitante superior para erro pelas fórmulinhas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Só usar uma para cada letra do enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Na parte do (a) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método do ponto médio. Então a gente precisa calcular:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = 1 x

Derivando duas vezes:

f ' x = - 1 2 x 3 2 ,   f ' ' x = 3 4 x 5 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 4,9 ] , é o próprio x = 4 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 4 = 3 128  

Passo 3

Como queremos estimar o erro máximo de M 10 , n = 10 ,   a = 4 e b = 9 . Nossa fórmulinha fica:

E M ≤ 9 - 4 3 3 128 24 ⋅ 10 2

Logo:

E M ≤ 0,00122

Passo 4

Na parte do (b) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método trapezoidal. Então a gente precisa calcular:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 3 128

Como queremos estimar o erro máximo de T 10 , n = 10 ,   a = 4 e b = 9 . Nossa fórmulinha fica:

E T ≤ 9 - 4 3 3 128 12 ⋅ 10 2

Logo:

E T ≤ 0,00244

Passo 5

Na parte do (c) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método de Simpson. Então a gente precisa calcular:

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' x = 1 4 x 5 2

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - 15 8 x 7 2 ,   f 4 ( x ) = 105 16 x 9 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 4,9 ] , é o próprio x = 4 . Aí vemos que:

K 4 = f 4 4 = 105 8192  

Passo 6

Como queremos estimar o erro máximo de S 20 , n = 20 ,   a = 4 e b = 9 . Nossa fórmulinha fica:

E S ≤ 9 - 4 5 105 8192 180 ⋅ 20 4

Logo:

E S ≤ 1,39078 ⋅ 10 - 6

Resposta

E M ≤ 0,00122

E T ≤ 0,00244

E S ≤ 1,39078 ⋅ 10 - 6

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