Derive:

18.

y = 1 / (s + k * e^s)

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Nessa questão foi nos dado que

y = 1 s + k e s

E teremos que determinar sua derivada. Show?

Cara, para fazer isso, o primeiro passo é entender que tipo de função temos ali para então saber qual é a regra de derivação que devemos usar.

Então repara no seguinte. Essa função é fracionária. Para casos assim podemos entender que ela é formada por uma divisão entre duas funções diferentes. Chamaremos de:

f s = 1

E

g s =   s + k e s

Ou seja:

y = 1 s + k e s = f s g s

Quando temos uma função desse tipo para derivar podemos usar a regra do quociente. Assim a derivada será calculada fazendo:

y ' = f ' g - f g ' g 2

Sabendo a carinha da função a regra que é mais adequada que ela, basta cair pra dentro da derivação, simplesmente substituindo tudo nessa fórmula aí. Vem que te mostro como será isso.

Passo 2

Para usar a Regra da Derivada do Quociente precisaremos das funções f s e g ( s ) e de suas derivadas. Vamos então, calcular essas derivadas antes de tudo.

Veja que:

f s = 1

E como a derivada de uma constante é igual a zero, teremos:

f ' s = 0

E, como

g s =   s + k e s

Sendo k uma cosntante, a derivada terá duas partes. Sendo

g ' s = s ' + k e s '

Assim, fazendo cada parte, ficamos com:

g ' s = 1 + k e s

Show. Agora que temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra de derivação.

Passo 3

Lembrado que

y = 1 s + k e s = f s g s

E sua dervada será dada por

y ' = f ' g - f g ' g 2

Como:

f s = 1

f ' s = 0

g s =   s + k e s

g ' s = 1 + k e s

Substituindo, teremos:

y ' = 0 s + k e s - 1 1 + k e s s + k e s 2

O que nos dará:

y ' =   - ( 1 + k e s ) ( s + k e s ) 2

E prontinho. Derivada calculada.

Resposta

y ' = - ( 1 + k e s ) ( s + k e s ) 2

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