Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 80

Calcule o valor da constante C para a qual a integral

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x

Converge. Calcule a integral para esse valor de C .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Nesse exercício queremos encontrar o valor da constante C para que a integral apresentada seja convergente.

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x

Mas nós sabemos que essa é uma integral imprópria do tipo 1 , que é definida na forma:

∫ a ∞ f x   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f x d x

Então, primeiro vamos calcular a integral, considerando C uma constante qualquer e depois fazemos a análise do comportamento da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nesse caso, temos uma integral impropria, então temos que reescrever a integral usando o limite:

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x

Integrando em relação a x , vamos ter:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 3 C ln ⁡ 3 x + 1 0 t

Aplicando os limites de integração, temos:

= lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 - 1 3 C ln ⁡ 3 t + 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 3 C ln ⁡ 1

Como ln ⁡ ( 1 ) = 0 , ficamos com:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 - 1 3 C ln ⁡ 3 t + 1

Passo 3

Aplicando as propriedades logarítmicas a ln ⁡ b = ln ⁡ b a e ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b . Temos:

l i m t → ∞ ln ⁡ t 2 + 1 3 t + 1 C 3

Se lim ⁡ ln ⁡ a = ln ⁡ lim ⁡ a , então...

= ln ⁡ l i m t → ∞ t 2 + 1 3 t + 1 C / 3

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l (derivando numerador e denominador separadamente), temos:

= ln ⁡ l i m t → ∞ 2 t t 2 + 1 C 3 t + 1 C - 3 3

No numerador temos que l i m t → ∞ 2 t t 2 + 1 = 2 . Mas, como temos uma l n fora desse limite, temos que lembrar que o denominador não pode zerar e nem ir para infinito.

Se C < 3 o expoente de C 3 t + 1 C - 3 3 será negativo e isso fará a função divergir.

Se C > 3 o expoente de C 3 t + 1 C - 3 3 será > 0 , o que tambem fará a integral divergir

Portanto só nos resta C = 3 .

Nesse caso, temos:

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x = ln ⁡ l i m t → ∞ t 2 + 1 3 t + 1 3 / 3

= ln ⁡ 1 3

É isso! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x = ln ⁡ l i m t → ∞ t 2 + 1 3 t + 1 C / 3

Para C = 3 , a integral converge para ln ⁡ 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x pode não ser igual a lim b → ∞ ⁡ ∫ - b b f ( x ) d x . Mostre que ∫ 0 ∞ 2 xd x x 2 + 1 diverge, e portanto, ∫ - ∞ ∞ 2 xd x x 2 + 1 diverge. Depois mostre que lim b → ∞ ⁡ ∫ - b b 2
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫