Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x

y = raiz(x^2 + 1), 0 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 2 x = x x 2 + 1

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + x 2 x 2 + 1

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 3 2 π x 2 + 1   1 + x 2 x 2 + 1   d x = 2 π ∫ 0 3 2 x 2 + 1   d x = 2 2 π ∫ 0 3 x 2 + 1 2 2   d x

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

2 2 π ∫ 0 3 x 2 + 1 2 2   d x = 2 2 π 1 2 x x 2 + 1 2 + 1 4 ln ⁡ x + x 2 + 1 2 0 3 = 2 2 π 3 2 9 + 1 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 9 + 1 2 - 1 4 ln ⁡ 1 2 = 2 2 π 3 2 19 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 19 2 + 1 4 ln ⁡ 2 = 2 2 π 3 2 19 2 + 1 4 ln ⁡ 3 2 + 19 = 3 19 π + π 2 ln ⁡ 3 2 + 19    

Resposta

S = 3 19 π + π 2 ln ⁡ 3 2 + 19

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