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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 24

Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x

y = x 2 + 1 ,     0 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 2 x = x x 2 + 1

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + x 2 x 2 + 1

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 3 2 π x 2 + 1   1 + x 2 x 2 + 1   d x = 2 π ∫ 0 3 2 x 2 + 1   d x = 2 2 π ∫ 0 3 x 2 + 1 2 2   d x

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

2 2 π ∫ 0 3 x 2 + 1 2 2   d x = 2 2 π 1 2 x x 2 + 1 2 + 1 4 ln ⁡ x + x 2 + 1 2 0 3 = 2 2 π 3 2 9 + 1 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 9 + 1 2 - 1 4 ln ⁡ 1 2 = 2 2 π 3 2 19 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 19 2 + 1 4 ln ⁡ 2 = 2 2 π 3 2 19 2 + 1 4 ln ⁡ 3 2 + 19 = 3 19 π + π 2 ln ⁡ 3 2 + 19    

Resposta

S = 3 19 π + π 2 ln ⁡ 3 2 + 19

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Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixox, do gráfico da função dada: f x = e x + e - x 2 ,- 1 ≤ x ≤ 1
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.c) f x = x 2 , 0 ≤ x1 2
Para x = s e n( y ) ,0 ≤ y ≤ π ; eixo y :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder
Para x 1 2 + y 1 2 = 3 ,d e4,1a( 1,4 ) ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é.
Para x = y + 2 y , 1 ≤ y ≤ 2 ; eixo y :a) Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.b) Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se p