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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 20

  1. Ache as aproximações T 10 e M 10 para ∫ 1 2 e 1 x d x .
  2. Estime os erros envolvidos nas aproximações na parte (a).
  3. Que tamanho de n devemos escolher para que as aproximações T n e M n para a integral na parte (a) tenham uma precisão de 0,0001 ?

Passo 1

  1. Temos o intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , e vamos usar n = 10 , e com f x = e 1 x temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 2 - 1 10 = 1 10

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 10 = 1 2 ∆ x f 1 + 2 f 1,1 + 2 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,8 + 2 f 1,9 + f 2 = 1 2 ∙ 1 10 f 1 + 2 f 1,1 + 2 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,8 + 2 f 1,9 + f 2 ≈ 2,021976

    Passo 2

    Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1,05 + f 1,15 + f 1,25 ∙ ∙ ∙ + f 1,85 + f 1,95 1 10 ≈ 2,019102

    Passo 3

  2. Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio:

    3. E T ≤ K b - a 3 12 n 2

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2

    Onde K ≥ f ' ' x e a ≤ x ≤ b , vamos então achar f ' ' x :

    f ' x = e 1 x ' = e 1 x . - x - 2 = - e 1 x x 2

    f ' ' x = - e 1 x x 2 ' ' = e 1 x x 2 x 2 - - e 1 x 2 x x 4 = e 1 x + e 1 x 2 x x 4

    Para 1 ≤ x ≤ 2 temos então:

    f ' ' x = e 1 x + e 1 x 2 x x 4 ≤ e 1 1 + e 1 1 2 ∙ 1 1 4 = 3 e = K

    Podemos pegar qualquer valor para K maior de 3 e , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos n = 10 , a = 1 e b = 2 , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:

    E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 3 e 2 - 1 3 12 ∙ 10 2 = e 400 ≈ 0,006796

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 3 e 2 - 1 3 24 ∙ 10 2 = e 800 ≈ 0,003398

    Passo 4

  3. Aqui queremos achar o valor de n para ter uma precisão de 0,0001 , vamos então aplicar nas fórmulas:

E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 0,0001 ↔ 3 e 2 - 1 3 12 n 2 ≤ 10 - 4 ↔ e 4 n 2 ≤ 1 10 4 ↔ 10 4 e ≤ 4 n 2 ↔ n 2 ≥ 10 4 e 4 ↔ n ≥ 83  

E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 0,0001 ↔ 3 e 2 - 1 3 24 n 2 ≤ 10 - 4 ↔ e 8 n 2 ≤ 1 10 4 ↔ 10 4 e ≤ 8 n 2 ↔ n 2 ≥ 10 4 e 8 ↔ n ≥ 59    

Resposta

  1. T 10 ≈ 2,021976 e M 10 ≈ 2,019102
  2. E T ≈ 0,006796 e E M = ≈ 0,003398
  3. Para T n devemos ter n = 83 , para M n devemos ter n = 59
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