- Ache as aproximações e para .
- Estime os erros envolvidos nas aproximações na parte (a).
- Que tamanho de devemos escolher para que as aproximações e para a integral na parte (a) tenham uma precisão de ?
Passo 1
- Temos o intervalo , e vamos usar , e com temos que :
- Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio:
- Aqui queremos achar o valor de para ter uma precisão de , vamos então aplicar nas fórmulas:
Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:
Passo 2
Agora vamos achar a aproximação do ponto médio , onde os dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
Passo 3
Onde e , vamos então achar :
Para temos então:
Podemos pegar qualquer valor para maior de , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos , e , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:
Passo 4
Resposta
- e
- e
- Para devemos ter , para devemos ter