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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 66

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x pode não ser igual a lim b → ∞ ⁡ ∫ - b b f ( x ) d x . Mostre que

∫ 0 ∞ 2 x   d x x 2 + 1

diverge, e portanto,

∫ - ∞ ∞ 2 x   d x x 2 + 1  

diverge. Depois mostre que

lim b → ∞ ⁡ ∫ - b b 2 x   d x x 2 + 1 = 0

Passo 1

Primeiro, vamos calcular a integral ∫ 0 ∞ 2 x   d x x 2 + 1

Veja que podemos fazer a substituição: u = x 2 + 1 e d u = 2 x   d x , e ficamos com:

∫ 1 ∞ d u u

E integrando, temos:

ln ⁡ u   = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ] ∞ 0

Passo 2

Jogamos no limite agora:

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ] b 0 =   l i m b → ∞ ln ⁡ b 2 + 1 - ln ⁡ 0 2 + 1 =   lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ b 2 + 1 = ∞

Portanto,   ∫ 0 ∞ 2 x   d x x 2 + 1   diverge, logo ∫ - ∞ ∞ 2 x   d x x 2 + 1   também diverge.

Passo 3

Vamos agora mostrar a segunda parte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ - b b 2 x   d x x 2 + 1

Usando a integração do passo anterior, chegamos em:

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ] b - b =   l i m b → ∞ ln ⁡ b 2 + 1 - ln ⁡ ( - b 2 + 1 ) =   l i m b → ∞ ln ⁡ b 2 + 1 - ln ⁡ ( b 2 + 1 ) = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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