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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 52

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 2 ∞ d x x 2 - 1  

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   1 x 2 - 1   (a função da integral) e g x = 1 x . Então, iremos calcular:

lim x → ∞ ⁡ f x g x = l i m x → ∞   1 x 2 - 1   1 x = l i m x → ∞ x x 2 - 1   = l i m x → ∞ x x 2 1 - 1 x 2 = l i m x → ∞   x x 1 - 1 x 2 =   l i m x → ∞ 1 1 - 1 x 2 =   l i m x → ∞   1 1 - 0 = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 0 ∞ 1 x   d x  

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, g x diverge né?! Logo f ( x ) também diverge. ∫ 2 ∞ d x x 2 - 1   diverge.

Resposta

∫ 2 ∞ d x x 2 - 1   diverge.

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