Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 81
A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais brilhante dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de , com uma variação de . Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no instante , onde é medido em dias, foi modelado pela função
a) Encontre a taxa de variação do brilho após dias.
b) Encontre, correta até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado forneceu uma função que dá o brilho de uma estrela em função dos tempo (medido em dias):
Queremos encontrar a taxa de variação de brilho em função do tempo. E essa taxa de variação nada mais é que a derivada da função em relação ao tempo.
Sendo, precisaremos derivar a função .
Mas perceba que essa função tem um . Ou seja, temos uma função dentro do argumento do o que indica uma função composta. E para sua derivação, precisaremos da regra da cadeia. Sendo:
Pode ser entendida como
E sua derivada será dada por:
No item (b) é pedido a taxa de variação após um dia: basta substituir na expressão encontrada no item (a).
Agora vamos lá! 😉
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item(a).
Para isso, vamos precisar da regra da cadeia, que é dada por:
Ou seja, a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.
Assim, calculando a taxa de variação de brilho em função do tempo utilizando a regra da cadeia, temos:
Resolvendo a derivada da função de dentro, temos
Ajustando um pouco melhor
O que nos dá:
E essa é a taxa de variação.
Passo 3
Neste passo resolvemos o item (b).
Substituindo , temos que
A conta foi feita com uma calculadora gráfica com o ângulos em radianos.
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
a)
b)