Exercícios de Regra da Cadeia - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 98

A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa 4   k g movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo dada por v t = t 2 - 1 . Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por K v = 1 2 m v 2 . Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de v , isto é , K t = 2 t 2 - 1 2 . Apesar de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são v x = x 2 - 1 e K x = 2 x 2 .

A composição de K com   v tem como resultado ( K ∘ v ) ( x )   =   K ( v ( x ) )   =   2 x 2 - 1 2 que é o mesmo resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, d K / d v   =   4 v e d v / d t   =   2 t .

Curiosamente, a derivada da composição K ∘ v pode ser vista como

d K d t = d K d v d v d t = 4 v .   2 t = 8 v t

Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos que v , na verdade, tem uma escrita em termos de t . Substituindo, obtemos d K / d t   =   8 t v   =   8 t ( t 2 - 1 ) ,   que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma d u d t = d u d x d x d t (última linha da tabela no início da lista) está correta, entendendo que o termo d u d x será escrito em termos de t após substituir x .

Em cada item, determine o que se pede.

(b) Dados F = G m 1 m 2 r 2 , onde G ,   m 1 e m 2 são constantes em t e r t = 3 t 2 + 1 , determine d F / d t .

Sugestão: Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3) usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

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Questão 99

A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa 4   k g movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo dada por v t = t 2 - 1 . Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por K v = 1 2 m v 2 . Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de v , isto é , K t = 2 t 2 - 1 2 . Apesar de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são v x = x 2 - 1 e K x = 2 x 2 .

A composição de K com   v tem como resultado ( K ∘ v ) ( x )   =   K ( v ( x ) )   =   2 x 2 - 1 2 que é o mesmo resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, d K / d v   =   4 v e d v / d t   =   2 t .

Curiosamente, a derivada da composição K ∘ v pode ser vista como

d K d t = d K d v d v d t = 4 v .   2 t = 8 v t

Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos que v , na verdade, tem uma escrita em termos de t . Substituindo, obtemos d K / d t   =   8 t v   =   8 t ( t 2 - 1 ) ,   que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma d u d t = d u d x d x d t (última linha da tabela no início da lista) está correta, entendendo que o termo d u d x será escrito em termos de t após substituir x .

Em cada item, determine o que se pede.

(c) Dados K = I ω 2 2 , onde I é constante em t e ω f = 2 π f , determine d K / d f .

Sugestão: Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3) usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

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Questão 100

A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa 4   k g movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo dada por v t = t 2 - 1 . Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por K v = 1 2 m v 2 . Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de v , isto é , K t = 2 t 2 - 1 2 . Apesar de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são v x = x 2 - 1 e K x = 2 x 2 .

A composição de K com   v tem como resultado ( K ∘ v ) ( x )   =   K ( v ( x ) )   =   2 x 2 - 1 2 que é o mesmo resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, d K / d v   =   4 v e d v / d t   =   2 t .

Curiosamente, a derivada da composição K ∘ v pode ser vista como

d K d t = d K d v d v d t = 4 v .   2 t = 8 v t

Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos que v , na verdade, tem uma escrita em termos de t . Substituindo, obtemos d K / d t   =   8 t v   =   8 t ( t 2 - 1 ) ,   que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma d u d t = d u d x d x d t (última linha da tabela no início da lista) está correta, entendendo que o termo d u d x será escrito em termos de t após substituir x .

Em cada item, determine o que se pede.

(a) Dados τ = I   .   α onde I é constante em t e α t = 2 t 3 , determine d τ / d t .

Sugestão: Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3) usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

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