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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 55

Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível.

Passo 1

Oie, tudo bem?

Pronto para começar mais uma resolução? Vou te ajudar a resolver essa atividade, em qual precisamos encontrar o maior volume de uma caixa retangular, em que o comprimento da sua diagonal deve ser L .

Bom galera, por trigonometria a gente sabe que o comprimento dessa diagonal L pode ser escrito em:

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

Sendo a altura, comprimento e largura da caixa.

E assim, o volume é:

V = x y z

Vamos então modificar a equação do volume para que seja em duas variaveis, após isso iremos calcular as derivadas parciais em relação a x e y par aque possamos encontrar os pontos criticos.

Esses pontos criticos nos irão ajudar o volume maximo que queremos.

Passo 2

Beleza, vamos isolar o z :

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

z = L 2 - x 2 - y 2

Assim podemos escrever o volume como uma função de dois vetores:

V = x y z

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Vamos derivar em função de x , precisaremos utilizar a regra do produto e regra da cadeia:

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Aplicando então:

V x = y - x 2 - y 2 + L 2 - y x 2 - x 2 - y 2 + L 2

Temos que após realizarmos o mmc:

V x = - y 2 x 2 + y 2 - L 2 - x 2 - y 2 + L 2

E agora para V y :

V y = x - y 2 - x 2 + L 2 - x y 2 - x 2 - y 2 + L 2

Temos que após realizarmos o mmc:

V y = - x 2 y 2 + x 2 - L 2 - x 2 - y 2 + L 2

Então precisamos encontrar os pontos críticos com as derivadas parciais:

V x = 0

0 = - y 2 x 2 + y 2 - L 2 - x 2 - y 2 + L 2

Simplificando terems:

2 x 2 + y 2 - L 2 = 0

E teremos então:

y 2 = L 2 - 2 x 2

E:

V y = 0

0 = - x 2 y 2 + x 2 - L 2 - x 2 - y 2 + L 2

Teremos então:

2 y 2 + x 2 - L 2 = 0

Passo 3

Temos então um sisteminha:

L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Conseguimos encontra com esse sistema que:

x = y = L 3

E temos também que:

z = L 2 - x 2 - y 2

Aplicando aqui dentro achamos que:

x = y = z = L 3

Então o volume é:

V = x y z

V = L 3 3 = L 3 3 3

Resposta

L 3 3 3

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