Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 36
33-36. Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem por aí? O problema nos deu essa série
E precisamos achar a soma dos dez primeiros termos e com esse valor aproximar a série. Ah! Precisamos também encontrar o erro!
Para determinar a soma dos dez termos, precisamos achar os termos! E isso fazemos variando o valor de de até , vamos encontrar os termos e somar!
Esse valor é uma estimativa da soma integral da série! E o erro pode ser calculado através do valor da soma total
Então a ideia é achar uma série que dê o valor próximo total e ver como podemos comparar!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!
Passo 2
Antes de qualquer coisa, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos da série dada, tudo bem? Temos:
Fazendo essa continha, isto é, somando esses decimais, obteremos aproximadamente:
Passo 3
Tudo bem, já temos o resultado da soma dos dez primeiros termos da série. Agora o que devemos fazer é utilizar o teste de comparação para ver se a série converge ou diverge. Uma série comparativa interessante para nós seria:
Que é uma série geométrica convergente, uma vez que . A comparação nos dá:
Agora calculando o erro, teremos:
Vale ressaltar que essa integral sai do teste da integral, caso não esteja lembrado, beleza? Resolvendo a integral, teremos:
Sendo assim, .