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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 59

A equação 6 é uma fórmula para a derivada d y / d x de uma função definida implicitamente por uma equação F x , y = 0 , sendo que F é diferenciável e F y ≠ 0 . Comprove que se F tem derivadas contínuas de segunda ordem, então uma fórmula para a segunda derivada de y é

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar expressão com regra da cadeia, vamos lá!

A questão cita pra gente a equação da derivada de uma função implícita

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y = - F x F y

Onde y = y ( x ) , e F é uma função implícita do tipo F x , y = 0 , e nos pede para comprovar a seguinte expressão

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

Mas como comprovamos isso?

Veja que o nosso objetivo é a expressão de

d 2 y d x 2

Ou ainda

d d x d y d x

Mas a gente acabou de definir que

d y d x = - F x F y

Então a gente pode chegar na equação do enunciado calculando novamente a derivada dessa expressão!

Passo 2

Precisamos calcular

d d x d y d x = - d d x F x F y

De forma que podemos usar a regra do quociente!

Relembrando a regra do quociente:

Seja

z = f x g x

Então

z ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x ²

De forma que obtemos

d 2 y d x 2 = - d F x d x ⋅ F y - F x d F y d x F y 2

Passo 3

Dessa forma, nosso objetivo agora é encontrar

d F x d x

E

d F y d x

E nós definimos que F x e F y são funções de x e y ! Além disso, y = y ( x ) ! De forma que podemos calcular estas derivadas pela regra da cadeia!

Então, para d F x / d x   d F x d x = ∂ F x ∂ x + ∂ F x ∂ y ⋅ d y d x

E para d F y / d x

d F y d x = ∂ F y ∂ x + ∂ F y ∂ y ⋅ d y d x

Mas nós sabemos que

d y d x = - F x F y

Assim

d F x d x = F x x + F x y ⋅ - F x F y

d F x d x = F x x F y - F x y F x F y

Analogamente

d F y d x = F y x + F y y ⋅ - F x F y

d F y d x = F y x F y - F y y F x F y

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na equação que obtemos com a regra do quociente

d 2 y d x 2 = - F x x F y - F x y F x F y F y - F x F y x F y - F y y F x F y F y 2

Ou ainda

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - F x y F x F y - F y x F x F y + F y y F x 2 F y 3

Como as derivadas de segunda ordem de F são contínuas, pelo teorema de Clairaut temos que F x y = F y x . Assim, podemos juntar os termos do meio:

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

Essa é exatamente a relação que foi pedida no enunciado!

Resposta

A expressão

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

É válida!

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