Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 59
A equação 6 é uma fórmula para a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação , sendo que é diferenciável e . Comprove que se tem derivadas contínuas de segunda ordem, então uma fórmula para a segunda derivada de é
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar expressão com regra da cadeia, vamos lá!
A questão cita pra gente a equação da derivada de uma função implícita
Onde , e é uma função implícita do tipo , e nos pede para comprovar a seguinte expressão
Mas como comprovamos isso?
Veja que o nosso objetivo é a expressão de
Ou ainda
Mas a gente acabou de definir que
Então a gente pode chegar na equação do enunciado calculando novamente a derivada dessa expressão!
Passo 2
Precisamos calcular
De forma que podemos usar a regra do quociente!
Relembrando a regra do quociente:
Seja
Então
De forma que obtemos
Passo 3
Dessa forma, nosso objetivo agora é encontrar
E
E nós definimos que e são funções de e ! Além disso, ! De forma que podemos calcular estas derivadas pela regra da cadeia!
Então, para
E para
Mas nós sabemos que
Assim
Analogamente
Passo 4
Substituindo essas expressões de volta na equação que obtemos com a regra do quociente
Ou ainda
Como as derivadas de segunda ordem de são contínuas, pelo teorema de Clairaut temos que . Assim, podemos juntar os termos do meio:
Essa é exatamente a relação que foi pedida no enunciado!
Resposta
A expressão
É válida!