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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 19

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0   =   0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 .

t g   2 x   ≈   2 x

Passo 1

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Para nossa função f x = t g   2 x   em x 0   =   0 vamos ter que:

f x 0 = f 0 = t g   2 0

f x 0 = t g   0 = 0

Derivando a expressão:

f ' x = t g   2 x   ' = 2 sec ⁡ x 2

f '   x 0 = f ' 0 = 2 sec ⁡ x 2 = 2 sec ⁡ 0 2

f '   x 0 = 2 1 2 = 2  

Passo 2

Substituindo todos esses dados na Fórmula (1)

f x = t g   2 x ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Como x 0 = 0

t g   2 x ≈ f 0 + f ' 0 x - 0

t g   2 x ≈ 0 + 2 ( x - 0 )

t g   2 x ≈ 2 x

Confirmado 😊

Passo 3

Para que o erro na aproximação seja de, no máximo, ± 0,1 .

  f x - f x a p r o x i m a d o ≤ 0,1

  t g   2 x   - 2 x ≤ 0,1

Usando artifícios computacionais teremos que isso acontece quando x ≤ 0,3158

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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