30. Considere a equação

d y d x = y - 4 x x - y

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

d y d x = y x - 4 1 - y x

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = (x). Expresse dy/dx em função de x, υ e /dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e /dx. Mostre que a equação diferencial resultante é

v + x d v d x = v - 4 1 - v  

Ou

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

c )   Vamos Continuar manipulando nossa expressão. Agora queremos fazer uma substituição

v = y x → y = v x

Então se antes tínhamos

d y d x = y x - 4 1 - y x

Agora teremos

d d x v x = v - 4 1 - v

Agora é só usar a Regra da Cadeira

v d x d x + x d v d x = v - 4 1 - v      

Podemos ajeitar ela pra ficar mais bonita

x d v d x = v - 4 1 - v   - v  

x d v d x = v - 4 - v + v 2 1 - v  

x d v d x = v 2 - 4 1 - v

Prontinho, manipulamos como o enunciado queria. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.49. dy / dx - y^2 = -9 c) (1/3, 1)
Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.49. dy/dx - y^2 = -9 a) (0, 0)
Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.50. x * (dy/dx) = y^2 - y c) (1 / 2, 1 / 2)
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.37. x . raiz(1 - y^2) dx = dy
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.47. x^2 * y' = y - xy , no qual y(-1) = -1 .