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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 30-c

30. Considere a equação

d y d x = y - 4 x x - y

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

d y d x = y x - 4 1 - y x

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = xυ(x). Expresse dy/dx em função de x, υ e dυ/dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e dυ/dx. Mostre que a equação diferencial resultante é

v + x d v d x = v - 4 1 - v  

Ou

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

c )   Vamos Continuar manipulando nossa expressão. Agora queremos fazer uma substituição

v = y x → y = v x

Então se antes tínhamos

d y d x = y x - 4 1 - y x

Agora teremos

d d x v x = v - 4 1 - v

Agora é só usar a Regra da Cadeira

v d x d x + x d v d x = v - 4 1 - v      

Podemos ajeitar ela pra ficar mais bonita

x d v d x = v - 4 1 - v   - v  

x d v d x = v - 4 - v + v 2 1 - v  

x d v d x = v 2 - 4 1 - v

Prontinho, manipulamos como o enunciado queria. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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