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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 28

Se f for diferenciável e periódica com período T , mostre que f ' também é periódica com período T . Determine se

F x = ∫ 0 x f t d t

É sempre periódica.

Passo 1

Vamos começar relembrando alguns conceitos de funções periódicas. Uma função periódica é definida como

f t = f ( t + T )

Toda função periódica pode ser escrita como uma série de Fourier:

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ 2 π t T + b n sen ⁡ 2 π t T

Tudo bem?

Passo 2

Se aplicarmos a derivada na função ficaremos com:

d f d t = d d t a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ 2 π t T + b n sen ⁡ 2 π t T

f ' = ∑ n = 1 ∞ - 2 π T a n sen ⁡ 2 π t T + 2 π T b n co s ⁡ 2 π t T

Reescrevendo:

b m = - 2 π T a n

a m = 2 π T b n

Ficaremos com

f ' = ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ 2 π t T + b m sen ⁡ 2 π t T

Portanto, como a derivada de f também é expressa como uma série de Fourier de período T , f ' também é uma função periódica com período T .

Passo 3

O exercício ainda nos pede para determinar se a integral de f ( t ) também é periódica.

Escrevendo f ( t ) como uma série de Fourier:

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ 2 π t T + b n sen ⁡ 2 π t T

F x = ∫ 0 x f t d t

F x = ∫ 0 x a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ 2 π t T + b n sen ⁡ 2 π t T d t

F x = a 0 2 t + ∑ n = 1 ∞ T 2 π a n s en ⁡ 2 π t T - T 2 π b n cos ⁡ 2 π t T 0 x

F x = a 0 2 x + ∑ n = 1 ∞ T 2 π a n sen ⁡ 2 π x T - T 2 π b n cos ⁡ 2 π x T + 1

Como F ( x ) possui uma parte que é função linear de x g x = a 0 2 x , a integral de f não é necessariamente periódica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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