Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 28
Se for diferenciável e periódica com período , mostre que também é periódica com período . Determine se
É sempre periódica.
Passo 1
Vamos começar relembrando alguns conceitos de funções periódicas. Uma função periódica é definida como
Toda função periódica pode ser escrita como uma série de Fourier:
Tudo bem?
Passo 2
Se aplicarmos a derivada na função ficaremos com:
Reescrevendo:
Ficaremos com
Portanto, como a derivada de também é expressa como uma série de Fourier de período , também é uma função periódica com período .
Passo 3
O exercício ainda nos pede para determinar se a integral de também é periódica.
Escrevendo como uma série de Fourier:
Como possui uma parte que é função linear de , a integral de não é necessariamente periódica.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)