Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.

50. x * (dy/dx) = y^2 - y

c) (1 / 2, 1 / 2)

Passo 1

Então pessoal, basicamente o que devemos fazer nessa questão é resolver a equação diferencial e depois aplicar o ponto indicado para encontrarmos a constante, assim como a gente fazia lá no estudo de funções, lembram? Então, a ideia é exatamente a mesma!

Outro adendo importante é que como estamos estudando o método de separação de variáveis para resolver equações diferenciais, então iremos resolver todas as EDO’s assim, beleza? Show! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é a seguinte:

x d y d x = y 2 - y

Primeiramente temos que separar tudo que tem   x de um lado e tudo que tem y de outro. Fazendo isso, teremos:

d y y 2 - y = d x x

Agora que separamos as variáveis, o que precisamos fazer é integrar ambos os lados da equação:

∫ d y y 2 - y = ∫ d x x

E então vamos para o próximo passo, que é, claro, resolver essas integrais. Segura na mão de Deus e vem!

Passo 3

A integral da esquerda tem um método interessante de solução, pessoal! Vamos colocar 1 y 2 em evidência no denominador, saca só:

∫ d y y 2 - y = ∫ 1 1 - 1 y y 2 d y

Agora que fizemos isso, vamos fazer uma substituição simples, saca só:

u = 1 - 1 y

d u = 1 y 2 d y

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d u u = ln ⁡ u + c 1

Voltando à variável y :

∫ d y y 2 - y = ln ⁡ 1 - 1 y + c 1

Passo 4

Já a integral da direita é bem tranquila de resolvermos, já que o resultado dela é tabelado:

∫ d x x = ln ⁡ x + c 2

Igualando os resultados, teremos

ln ⁡ 1 - 1 y + c 1 = ln ⁡ x + c 2

Simplificando:

ln ⁡ y - 1 - ln ⁡ y + c 1 = ln ⁡ x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

ln ⁡ y - 1 - ln ⁡ y = ln ⁡ x + c 3

Reescrevendo de outra forma, teremos:

y = 1 1 - c 3 x

Show!

Passo 5

Agora que resolvemos a nossa equação diferencial, precisamos aplicar o ponto dado, que foi 1 2 , 1 2 . Aplicando, teremos:

1 2 = 1 1 - c 3 . 1 2

1 2 = 1 2 - c 3 2

1 2 = 2 2 - c 3 ⇒ 2 - c 3 = 4

∴ c 3 = - 2

Substituindo na nossa expressão, teremos:

y = 1 1 + 2 x

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

y = 1 1 + 2 x

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