Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 50c
Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.
50.
c)
Passo 1
Então pessoal, basicamente o que devemos fazer nessa questão é resolver a equação diferencial e depois aplicar o ponto indicado para encontrarmos a constante, assim como a gente fazia lá no estudo de funções, lembram? Então, a ideia é exatamente a mesma!
Outro adendo importante é que como estamos estudando o método de separação de variáveis para resolver equações diferenciais, então iremos resolver todas as EDO’s assim, beleza? Show! Vamo que vamo!
Passo 2
A equação que nos foi dada é a seguinte:
Primeiramente temos que separar tudo que tem de um lado e tudo que tem de outro. Fazendo isso, teremos:
Agora que separamos as variáveis, o que precisamos fazer é integrar ambos os lados da equação:
E então vamos para o próximo passo, que é, claro, resolver essas integrais. Segura na mão de Deus e vem!
Passo 3
A integral da esquerda tem um método interessante de solução, pessoal! Vamos colocar em evidência no denominador, saca só:
Agora que fizemos isso, vamos fazer uma substituição simples, saca só:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Voltando à variável :
Passo 4
Já a integral da direita é bem tranquila de resolvermos, já que o resultado dela é tabelado:
Igualando os resultados, teremos
Simplificando:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
Reescrevendo de outra forma, teremos:
Show!
Passo 5
Agora que resolvemos a nossa equação diferencial, precisamos aplicar o ponto dado, que foi . Aplicando, teremos:
Substituindo na nossa expressão, teremos:
E essa é a nossa resposta! 😉