Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 81
Considere:
Encontre os valores de e que tornem derivável em toda parte.
Passo 1
Vamo que vamo, nesse enunciado temos que descobrir quem é e para que a função seja diferenciável dentro de todos os números reais!
Calmaa, não precisa se desesperar, olha só como vamos resolver essa questão!
Para que a função seja derivável em toda parte, os limites das duas partes da função devem ser iguais em e as derivadas laterais devem ser iguais nesse ponto. Então será verdade a condição:
Mas nós vamos abordar isso mais a frente!
Passo 2
A ideia aqui será aplicar as funções de nos limites:
Substituindo , termos:
Logo, determinamos que equivale a:
Passo 3
Como dito no passo 1 as derivadas laterais devem ser iguais no ponto , logo, para a função ser diferenciável, devemos ter:
Beleza?! Vamos então calcular essas derivadas!
Para , temos:
Sua respectiva derivada sera determinada pela regra da potência, em que a derivada de elevado ao expoente , será igual ao expoente vezes elevado ao expoente menos 1, como o exemplo abaixo.
Logo, a derivada será:
A derivada pode ser reescrita como:
Substituindo
Passo 4
Para , temos:
Sua respectiva derivada é determinada pela regra da potência:
Logo, a derivada será:
Portanto,
Como visto que as derivadas laterais devem ser iguais no ponto , será verdade:
Podemos igualar as equações e determinar que:
Podemos finalmente escrever a função:
Aweee!!