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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 5b

Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é derivável em   x 1 .

  1. f x = - 1   s e       x < 0 x - 1   s e   0 ≤ x                 x 1 = 0

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se f ( x ) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f x é continua em x 0 .

Passo 2

Ao substituir x 0   = 0 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x 0   = 0 . Com isso temos que f   0 =   - 1 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se lim x → x 0 + ⁡ f x   = k = lim x → x 0 - ⁡ f x   .

Assim, temos que :

lim x → x 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x - 1 = - 1  

lim x → x 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ - 1 = - 1

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual a -1.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

lim x → 0 ⁡ f x = - 1 = f ( 0 )  

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f   ( x ) é continua em x 0   = 0 .

Resposta

f   ( x ) é continua em x 0   =   0 .

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Dada f ( x ) = a x 2 + bs ex ≤ 1 1 xs ex1 Ache os valores de a e b, tais que f ' ( 1 ) exista.
Determine os valores de a e b que tornam a seguinte função derivável para todos os valores de x . f x = a x + b , b x 2 - 3 , s ex- 1 s ex ≤ - 1
Determine o valor de a que torna a seguinte função derivável para todos os valores de x . g x = a x , x 2 - 3 x , s ex0 s ex ≥ 0
Seja f x uma função que satisfaz f x ≤ x 2 para - 1 x1 Mostre que f ( x ) é derivável em x =0 e determine f ' ( 0 ) . Mostre que f x = x 2 ∙s e n1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 é derivável em x=0 e determine f
Em que pontos do domínio a função parece ser derivável? contínua, mas não derivável? nem contínua, nem derivável?