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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 11

Derive:

F y =   1 y 2 -   3 y 4 y + 5 y 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

F y =   1 y 2 -   3 y 4 y + 5 y 3

E nosso objetivo é calcular a derivada de F y .

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos observar nessa função é que F y é composta por um produto de duas funções.

Dessa forma, podemos calcular a derivada de F pela regra do produto

F y = f y g y ,     F ' y = f ' y · g y + f y · g ' y

Bora lá!

Passo 2

Se F y =   1 y 2 -   3 y 4 y + 5 y 3 e f y = 1 y 2 -   3 y 4 e g y = y + 5 y 3 .

Vamos primeiro derivar f ( y ) :

Reescrevendo f y ...

f y = 1 y 2 -   3 y 4 → f y = y - 2 - 3 y - 4

Derivando pela regra da potência, temos

f ' y = - 2 y - 2 - 1 - 3 - 4 y - 4 - 1

f ' y = - 2 y - 3 + 12 y - 5

Agora g ( y ) :

g y = y + 5 y 3

Derivando pela mesma regra...

g ' y = 1 y 1 - 1 + 5 3 y 3 - 1

g ' y = 1 + 15 y 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora sim, vamos de regra de produto:

F ' y = f ' y · g y + f y · g ' y

Substituindo f ' , f , g ' e g , temos

F ' y = - 2 y - 3 + 12 y - 5 y + 5 y 3 + 1 + 15 y 2 y - 2 - 3 y - 4

Simplificando essa função, vamos obter

F ' y = - 2 y - 2 + 12 y - 4 - 10 + 60 y - 2 + y - 2 - 3 y - 4 - 45 y - 2

F ' y = - 2 + 60 + 1 - 45 y - 2 + 12 - 3 y - 4 - 10

F ' y = 14 y - 2 + 9 y - 4 - 10

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

F ' y = 14 y - 2 + 9 y - 4 - 10

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