Exercícios de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a função definida por

Determine os pontos em que é derivável. Justifique.

Calcule nos pontos em que é derivável.

Determine , e , onde

Seja

Seja . A função é derivável em ? Por que?

Seja .

Esboce o gráfico de

Dê os pontos onde é duas vezes diferencial e determine e .

Seja a função tal que

Calcule .

Derive a função abaixo:

Considere

Determine a derivada de

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

Considere a função definida por:

1. Dê um exemplo de valores para e tal que exista , porém não seja contínua em
2. Determine e de forma que seja contínua em
3. Para os valores de e obtidos no item anterior, existe ?

Determine e de modo que

Seja diferenciável.

Use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

Use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

Seja .

1. Dê os pontos onde é duas vezes diferencial e determine e
2. Esboce o gráfico de

Seja .

1. Calcule
2. Se calcule

Calcule para a função do ex. 10. da Lista 7.

5) Considere a função:

Determine os valores de e que fazem com que seja derivável no ponto .

Considere a função:

Usando a definição, calcule a derivada desta função no ponto .

Derive a função.

Derive a função.

Derive a função.

Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

Seja:

1. Usando a definição, calcule a derivada de para todo .
2. A derivada existe em ?

Associe V para verdadeiro e F para falso nos seguintes itens:

Considere

Onde e são constantes reais.

(I) Para e , a função é contínua em .

(II) Para quaisquer , , com , é contínua em .

(III) Para quaisquer , com , é diferenciável em .

(IV) Somente quando , é diferenciável em .

(V) Somente quando , é diferenciável em .

Considere a função dada por

1. Determine todos os valores de e que tornam contínua em

2. Determine todos os valores de e quetornam derivável em

3. Utilizando os valores de e obtidos no item (b), escreva a expressão de Calcule, caso exista,

Considere a função dada por

1. A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.
2. Encontre a função para todo valor de no qual é diferenciável.

Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja derivável.

1. f(x) =

Determine e de modo que

Seja diferenciável.

Considere a função definida por:

Dê um exemplo de valores para , e tal que NÃO exista .

Dê um exemplo de valores para , e tal que exista

Dê um exemplo de valores para , e de forma que SEJA contínua mas NÃO exista .

Dê um exemplo de valores para , e de forma que EXISTA

Considere a função

A função é diferenciável em É contínua em

Seja

A função é derivável em ? JUSTIFIQUE!

Dados os paraboloides e

1. Faça um esboço do sólido limitado pelos paraboloides

Dados os paraboloides e

1. Escreva a integral do volume correspondente.

Dados os paraboloides e

1. Escreva a integral do volume correspondente.

Seja dada por:

Para que seja derivável em , e devem ser, respectivamente:

1. e
2. e
3. 4 e qualquer real
4. e
5. Para nenhum valor de e

Use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

Use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

Considere as funções

1. Encontre
2. Usando (a), encontre e determine o seu domínio ;
3. Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular ;
4. Usando a Regra da Cadeia, encontre
5. Compare (b) e (d);
6. Esboce os gráficos de e ;
7. Indique nos gráficos os pontos onde e não são diferenciáveis.

Dizemos que a função f possui derivada lateral à esquerda no ponto x = a quando existe o limite:

De maneira análoga definimos derivada lateral à direita . Mostre que f é derivável no ponto x=a se, e semente se, as derivadas laterais existem e são iguais.

1. Considere as funções f e g definidas abaixo.

Usando a definição, verifique que f é derivável (e, portanto, contínua) em . Verifique em seguida que g é contínua em mas não é derivável nesse mesmo ponto.

Para quais valores de e reais a função

É derivável para qualquer ?

Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja derivável.

1. f(x) =

Dada a seguinte função

Então:

1. é contínua em e derivável em
2. é contínua em e não derivável em
3. não é contínua em e não derivável em
4. não é contínua em e é derivável em

Determine valores de e , tais que

seja diferenciável em .