Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

sen(2x)dx + cos(3y)dy = 0 , y(π/2) = π/3

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado.

Assim, temos:

s e n   2 x   d x   = -   c o s   3 y   d y  

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ s e n   2 x   d x   =   ∫ -   c o s   3 y   d y

s e n 2 x + c = - s e n   3 y 3 + c '

s e n 2 x = - s e n   3 y 3 + C

No enunciado há uma informação de que y ( π / 2 )   =   π / 3 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

s e n 2 x = - s e n   3 y 3 + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

s e n 2 ( π / 2 ) = - s e n   3 ( π / 3 ) 3 + C

C   = 1

Assim, a equação é:

s e n 2 x = - s e n   3 y 3 + 1

s e n   3 y = 3 ( 1   -   s e n 2 x   )

y = π - a r c s e n 3 c o s 2 x 3

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = π - a r c s e n 3 c o s 2 x 3

Assim, o intervalo em que a solução são as raízes da equação, quando y é igual a zero e ela está definida é com:

x   -   π / 2 < 0,6155   (aproximadamente)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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