2 - Considere o problema de valor inicial

,.

Usando o método de Runge-Kutta com tamanho de passo h, obtemos os resultados na Tabela

8.6.5. Esses resultados sugerem que a solução tem uma assíntota vertical entre e.

TABELA 8.6.5 Aproximações da Solução do Problema de Valor Inicial ,, Usando o Método de Runge-Kutta.

(a)Seja a solução do problema (i). Além disso, seja a solução de

e seja y = ϕ2(t) a solução de

Mostre que

em algum intervalo contido em em que todas as três soluções existem.

(b) Determine e . Depois mostre que para algum entre e .

(c) Resolva as equações diferenciais e , respectivamente, com a condição Inicial . Use os resultados para mostrar que quando .

(b) A função é a solução de,

A equação diferencial é separável:

Usando o método da substituição, tome e

Use a decomposição da fração parcial:

Então e , logo . Use esse valor na integral:

Vamos resolver a função abaixo, por meio da exponencial.

Encontre a constante usando a condição inicial:

Assim, a solução é:

A função  é a solução de,

A equação é separável:

Integre para encontrar  :

Encontre a constante usando a condição inicial:

Assim, a solução é

As funções satisfazem a condição para , e

A segunda equação mostra que  como . Como então,  para alguns valores de . A primeira equação mostra que,  como , mas  é finito para Como , então  é finito para . Portanto,  para alguns valores de  entre e .

(c) Considere os mesmos problemas, mas agora substitua a condição inicial por

As soluções e  tiveram as seguintes formas antes de resolver as constantes:

Use a nova condição inicial para encontrar as constantes:

E

Então, para  e , o valor do log é 0 quando:

Desde , então para .