Enunciado

Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial

Encontre a amplitude A da solução estado estacionário em função de ω.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

u c ' ' + 1 4 u c ' + 2 u c = 0

u c = e r t

u c ' = r e r t

u c ' ' = r ² e r t

4 r 2 + r + 8 = 0

r = - 1 8 ± i μ

u p ' ' + 1 4 u p ' + 2 u p = 2 cos ⁡ ω t

- B ω 2 + D ω 4 + 2 B = 2

- D ω 2 - B ω 4 + 2 D = 0

B = 32 2 - ω 2 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

D = 8 ω 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

u 0 = C 3 + 32 2 - ω 2 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64 = 0

u ' 0 = - C 3 8 + C 4 127 8 + ω 8 ω 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64 = 2

C 3 = 32 2 - ω 2 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

C 4 = 16 16 ω 4 - 65 ω 2 + 60 127 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

A cos ⁡ δ = 32 2 - ω 2 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

A sin ⁡ δ =     8 ω 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

A = 8 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

Resposta

A = 8 16 ω 4 - 63 ω 2 + 64

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