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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 30

Converta de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas.

4 , π 4 , π 3

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos estabelecer relações entre as coordenadas cilíndricas e as esféricas, utilizando as transformações para coordenadas retangulares.

Passo 2

Temos que para obter as coordenadas cilíndricas a partir das esféricas vamos precisar utilizar as coordenadas retangulares como intermediarias. Sabemos que das coordenadas cilíndricas para retangulares temos as seguintes relações:

x = r ⋅ cos ⁡ θ ,

y = r ⋅ sin ⁡ θ ,

z = z

E das coordenadas esféricas para retangulares, temos as relações

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ ,

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ ,

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Podemos então igualar as equações uma vez que nas coordenadas retangulares terão os mesmos valores. Assim, chegamos que

θ = θ ,

r = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ,

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Note que não precisamos estabelecer uma relação para θ pois o dado em coordenadas cilíndricas será o mesmo para coordenadas esféricas.

Assim, sabendo que os pontos em coordenadas cilíndricas são dados da forma ( ρ , θ , ϕ ) e que as coordenadas esféricas são dadas da forma r , θ , z , assim temos que:

θ = 45 º

r = 4 ⋅ sin ⁡ π 3 = 4 ⋅ 3 2 = 2 ⋅ 3

z = 4 ⋅ cos ⁡ π 3 = 4 ⋅ 1 2 = 2

Resposta

r = 2 ⋅ 3

θ = 45 º

z = 2

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