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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 59

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 + cos ⁡ θ ,                     θ = π / 6

Passo 1

Olá, meu nobre e querido estudante. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O exercício fornece uma curva em coordenadas polares e pede para acharmos a inclinação da tangente em um determinado ponto.

Temos que a curva polar dada é a:

r = 1 + cos ⁡ θ

E a reta tangente a essa curva será no ponto:

θ = π 6

Para isso, lembre-se que

x = r cos ⁡ θ                 e             ��       y = r   s e n   θ

Portanto,

x = ( 1 + cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ                   e                       y = ( 1 + cos ⁡ θ )   s e n   θ

Além disso, a inclinação da tangente é

d y d x = d y d θ d x d θ

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

d x d θ = d cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Derivando:

d x d θ = - s e n   θ - 2   s e n θ cos ⁡ θ

Utilizando da identidade trigonométrica:

d x d θ = - s e n   θ - s e n   2 θ

Temos então a derivada de x . Vamos agora calcular a de y .

d y d θ = d d θ sin ⁡ θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Derivando utilizando a regra do produto:

d y d θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Utilizando a identidade trigonométrica:

d y d θ = cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ

Usando θ = π / 6 , que é o ponto que queremos calcular a inclinação da reta tangente:

d y d θ = cos ⁡ π 6 + cos ⁡ π 3

d y d θ = 3 + 1 2

d x d θ = - s e n   π 6 - s e n   π 3

d x d θ = - 3 + 1 2

Portanto, substituindo na equação:

d y d x = d y d θ d x d θ

d y d x = - 1

Resposta

d y d x = - 1

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