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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 60

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = s e n   3 θ ,                     θ = π / 6

Passo 1

Oie, vamos resolver mais uma atividade hoje?

Veja bem, meu amigo.

O exercício fornece uma curva em coordenadas polares e pede para acharmos a inclinação da tangente em um determinado ponto. A nossa curva é:

r = s e n   3 θ

E o ponto de tangencia é o:

θ = π / 6

Para isso, lembre-se que

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Portanto,

x = s e n   3 θ ⋅ cos ⁡ θ ;   y = s e n   3 θ ⋅   s e n   θ

Além disso, a inclinação da tangente é:

d y d x = d y d θ d x d θ

Então veja que deveremos calcular a derivada da nossa parametrização, e após isso, deveremos aplicar o ponto θ = π 6 na equação de inclinação da reta tangente para obtermos nossa resolução.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas, por termos um produto de funções deveremos utilizar a regra do produto para derivadas:

x = s e n   3 θ ⋅ cos ⁡ θ

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

d x d θ = 3 cos ⁡ 3 θ cos ⁡ θ - s e n   3 θ   s e n   θ

y = s e n   3 θ ⋅   s e n   θ

d y d θ = 3 cos ⁡ 3 θ   s e n   θ + s e n   3 θ cos ⁡ θ

Usando θ = π / 6 :

d x d θ = 3 cos ⁡ π 2 cos ⁡ π 6 - s e n   π 2   s e n   π 6

d x d θ = - 1 2

d y d θ = 3 cos ⁡ π 2   s e n   π 6 + s e n   π 2 cos ⁡ π 6

d y d θ = 3 2

Portanto:

d y d x = d y d θ d x d θ

d y d x = 3 2 - 1 2

Logo:

d y d x = - 3

Resposta

d y d x = - 3

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