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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 13

Uma corda pesada, com 50 pés de comprimento, pesa 0,5 lb-pé e está pendurada sobre a borda de um edifício com 120 pés de altura.

  1. Qual o trabalho necessário para puxar a corda até o topo do edifício?
  2. Qual o trabalho necessário para puxar metade da corda até o topo do edifício?

Passo 1

  1. A porção de corda de x a ( x + ∆ x ) pés abaixo do topo do prédio pesa 1 2 ∆ x lb e deve ser levantada x i * pés, por isso, sua contribuição para o trabalho total é 1 2 x i * ∆ x lb-pés. O trabalho total é

    2. W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 x i * ∆ x = ∫ 0 50 1 2 x d x = 1 4 x 2 0 50 = 2500 4 = 625   l b - p é

    Note que a altura exata do edifício não importa, desde que seja mais que 50 pés.

    Passo 2

  2. Quando metade da corda é puxada para o topo do edifício, o trabalho para levantar a metade superior da corda é

W 1 = ∫ 0 25 1 2 x d x = 1 4 x 2 0 25 = 625 4   l b - p é

A metade inferior da corda é levantada 25   pés e o trabalho necessário e o trabalho necessário para que isso seja realizado é

W 2 = ∫ 25 50 1 2 25   d x = 25 2 x 25 50 = 625 2   l b - p é s

O trabalho total feito ao puxar metade da corda para o topo do prédio é

W = W 1 + W 2 = 625 2 + 625 4 = 3 4 625 = 1875 4   l b - p é s

Resposta

  1. 625   l b - p é
  2. 1875 4   l b - p é s
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