Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 46
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
A questão pede para fazermos uma substituição para transformar a integral em uma integral de funções racionais e resolvê-la.
Pra isso, vamos usar a substituição:
que é uma função racional, e nos fornece:
De modo que, derivando, sua diferencial será:
Então, vamos substituir isso na integral e calcular. Vamos lá!
Passo 2
Vimos no passo que , de modo que e . Então, substituindo na nossa integral, vamos ter:
Simplificando o integrando:
Ainda não tá legal de resolver, então, agora vamos fazer . Dessa forma, elevando ao quadrado teremos e derivando, temos . Portanto, substituindo na integral:
Multiplicando as constantes e colocando do lado de fora da integral:
Passo 3
Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, podemos fazer uma divisão de polinômios, para simplificar mais nosso integrando. Assim:
E dividindo:
Passo 4
Agora pegando esse resultado do passo anterior e substituindo na nossa integral, temos:
Como a integral da soma é igual a soma das integrais, podemos fazer:
E integrando, teremos:
Onde é uma constante de integração.
Passo 5
Agora só falta voltarmos para a variável original . Mas antes, voltando a variável , usando no resultado do passo anterior, temos:
Por fim, voltando a variável , usando , temos o resultado final da nossa integral:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉