Mostre que se e , então a seguinte integral é convergente.
Passo 1
Como no Exercício 55, nós temos que
Onde
e
Nós vamos mostrar que converge para e converge para , então converge quando e .
Passo 2
é impróprio apenas quando . Quando , nós temos que
A integral converge para , ou pelo Exercício 57, então pelo Teorema de Comparison, temos que converge para .
não é imprópria quando , então existe um valor finito e real nesse caso. Além disso, tem um valor finito e real quando .
Passo 3
é sempre imprópria. Quando , temos que
Pelo Teorema 2, nós temos que converge ou , então pelo Teorema de Comparison, a gente tem que converge para .
Assim, converge se e .
Resposta
converge se e .