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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 17a

O custo, em dólares, da produção de x jardas de um certo tecido é C x = 1200 + 12 x - 0,1 x 2 + 0,0005 x 3 e a companhia descobre que se vender as x jardas ela poderá cobrar p x = 29 - 0,00021 x dólares por jarda do tecido.

  1. Faça o gráfico das funções custo e rendimento e use-os para estimar o nível da produção para o lucro máximo.

Passo 1

Primeiro vamos representar as funções do custo e do rendimento. O custo C ( x ) é dado, e podemos calcular o rendimento R ( x ) multiplicando o preço por jarda pelo número x de jardas:

R x = p x ⋅ x = 29 - 0,00021 x x = 29 x - 0,00021 x 2

Agora usamos um programa para traçar os dois gráficos:

Passo 2

O lucro é o rendimento menos o custo. Para que o lucro L ( x ) seja maximizado, a sua derivada deve ser nula. Então:

L x = R x - C ( x )

L ' x = R ' x - C ' x = 0 ⇒ R ' x = C ' ( x )

Se as derivadas do rendimento e do custo são iguais, no valor x 0 para o qual o lucro é máximo as retas tangentes às curvas de R ( x ) e C ( x ) devem ter a mesma inclinação, ou seja, devem ser paralelas. Além disso, deve ocorrer na região na qual o rendimento é maior que o custo (senão temos um prejuízo e não lucro!). Pelo gráfico, podemos tentar estimar o valor de x 0 para o qual isso acontece:

Como podemos ver, isso ocorre para x aproximadamente igual a 190.

Resposta

x ≈ 190   j a r d a s

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11. O movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância da partícula a partir de um pontoO , em t s. A direção positiva é à direita. D
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