12 O movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância da partícula a partir de um ponto O , em t s. A direção positiva é à direita. Determine os intervalos de tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura similar à Figura 2 e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.

s = t / (1 + t^2)

Passo 1

Para que alguma coisa que está se mexendo pra direita mude de direção e vá para a esquerda é necessário que em algum momento ela pare de se mexer, isso acontece exatamente quando a velocidade é zero, pois a velocidade de uma coisa parada é zero, além disso o sentido da velocidade indica o sentido do movimento. Como já foi abordado nos exercícios anteriores .

d s d t = v ( t )

Então bora derivar!

Passo 2

Pra derivar essa função eu escolhi fazer por regra do quociente:

s = t 1 + t 2

v t = d s d t = t ' 1 + t 2 - 1 + t 2 ' t 1 + t 2 2 = 1 + t 2 - 2 t ⋅ t 1 + t 2 2 = 1 + t 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 = 1 - t 2 1 + t 2 2

Passo 3

Agora precisamos dos valores de t onde a partícula para de se mover, olhando pra o denominador de v ( t ) sabemos que ele será sempre positivo pois esta ao quadrado, a única coisa que pode mudar o valor de v ( t ) será seu numerador.

v t = 0 ⟺ 1 - t 2 = 0 ⟹ t = t 1 = 1 t 2 = - 1

Passo 4

Para estudarmos o sinal de v ( t ) usaremos métodos sofisticados do nono ano, o sinal de v ( t ) será dado dada por uma parábola y = 1 - t 2 de com cavidade pra baixo e com raízes 1 e -1.

Passo 5

Chegou a hora de montar o gráfica e ver que beleza ficou, pra isso vamos precisar dos valores de s onde a partícula muda de sentido, mas relaxa é só substituir t 1 e t 2 em s ( t ) .

s 1 = - 1 1 + 1 = 1 2

s - 1 = - 1 1 + 1 = 1 2

Resposta

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